Теорема Вієта: формулювання, доведення та застосування для розв’язання задач

26 травня 2026 р. 12:22

26 травня 2026 р. 12:22

Квадратні вирази з невідомими належать до базових тем шкільної алгебри. Під час їх вивчення учні знайомляться з правилами, які дають змогу знаходити невідомі значення швидше та з меншою кількістю обчислень. Одним із таких правил є теорема Вієта, яку активно використовують у контрольних роботах, НМТ (національному мультипредметному тесті) і задачах на перевірку логіки розв’язання. За даними освітніх платформ і матеріалів НМТ попередніх років, завдання на квадратні вирази завжди входять до тестів з математики. Через це важливо запам’ятати формули й зрозуміти, як саме вони працюють.

Що таке теорема Вієта і звідки вона походить

Теорема Вієта – це правило, яке пов’язує знайдені значення квадратного виразу з його коефіцієнтами. Вона названа на честь французького математика Франсуа, який зробив значний внесок у розвиток алгебри наприкінці XVI століття.

Під час вивчення алгебри тема «Що таке теорема Вієта» часто спричиняє труднощі через велику кількість формул і знаків. Це правило допомагає швидше розв’язувати задачі на пошук невідомих чисел і перевіряти правильність відповіді без складних підстановок. За посиланням можна знайти додаткові навчальні матеріали та приклади задач.

Теорема Вієта дає змогу знаходити корені квадратного рівняння через суму та добуток без обчислення дискримінанта. Для рівняння x² + bx + c = 0 сума коренів дорівнює −b, а добуток — c.

Де квадратні рівняння теореми Вієта використовуються найчастіше

Зазвичай правило застосовують у задачах на суму та добуток знайдених чисел. Також теорему використовують:

• у шкільних контрольних роботах;
• під час підготовки до НМТ;
• у вправах на перевірку відповіді;
• у задачах на складання алгебраїчних виразів.

У більшості таких задач потрібно швидко помітити зв’язок між коефіцієнтами та шуканими значеннями. Через це правило часто використовують у тестах з обмеженим часом на розв’язання.

Формулювання теореми Вієта для квадратного рівняння

Зв’язок між коефіцієнтами квадратного виразу та його розв’язками показує формула Вієта. Якщо вираз має два значення, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту зі зміненим знаком, а добуток — вільному члену.

Під час роботи за теоремою Вієта важливо правильно враховувати знаки. Через помилки зі знаком «мінус» учні найчастіше отримують неправильний результат.

Наприклад, для квадратного рівняння:
x² – 5x + 6 = 0

сума чисел дорівнює 5, а добуток — 6. Це означає, що шуканими значеннями будуть числа 2 і 3.

Окремо в алгебрі використовують обернену теорему Вієта. Якщо звичайна теорема допомагає знайти суму й добуток коренів через коефіцієнти рівняння, то обернена навпаки, дозволяє за відомою сумою та добутком підібрати самі корені без обчислення дискримінанта.

Теорема Вієта: приклади застосування у задачах

Найчастіше вона використовується для швидкого пошуку чисел або складання нового виразу за відомими значеннями. Суму й добуток коренів можна визначити одразу через коефіцієнти квадратного рівняння без повного розв’язання та обчислення дискримінанта. У простих задачах це дає змогу значно скоротити кількість обчислень.

Щоб зрозуміти, як працює теорема Вієта та як застосовувати її на практиці  достатньо розглянути простий алгоритм:

Наприклад, у завданнях ДПА та НМТ часто трапляються задачі, де потрібно без повного розв’язання визначити суму коренів рівняння (x² – 9x + 14 = 0) або знайти добуток коренів для виразу (x² + 5x – 24 = 0). У таких випадках за теоремою Вієта відповідь можна отримати одразу через коефіцієнти рівняння.

Як швидко перевірити правильність розв’язання рівняння

Після знаходження коренів варто перевірити, чи відповідають вони коефіцієнтам рівняння. Для цього достатньо окремо підставити знайдені числа у формулу Вієта та звірити суму і добуток.

Наприклад, для рівняння:
x² – 7x + 12 = 0

після знаходження чисел 3 і 4 перевіряють:

• сума: 3 + 4 = 7;
• добуток: 3 x 4 = 12.

Якщо обидві умови збігаються з коефіцієнтами, відповідь знайдена правильно. Така перевірка займає значно менше часу, ніж повторне повне розв’язання через дискримінант.

Для задач із теоремою Вієта часто використовують послідовність:

Окремо в старших класах учні можуть зустрічати тему «Узагальнена теорема Вієта», яка застосовується вже для виразів вищих степенів і складніших алгебраїчних задач.

Реклама

Сумські